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Álgebra A 62
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ÁLGEBRA A 62 UBA XXI
CÁTEDRA ESCAYOLA
7.
Analizar cada uno de los siguientes sistemas determinando, en cada caso, los valores de $k$ (si existen) que hacen que el sistema resulte compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.
c) $\left\{\begin{aligned}x+y+z&=1\\ (k+2)x+ky-z&=0\\ -x+y-2z&=-1\end{aligned}\right.$
c) $\left\{\begin{aligned}x+y+z&=1\\ (k+2)x+ky-z&=0\\ -x+y-2z&=-1\end{aligned}\right.$
Respuesta
En este caso la matriz ampliada asociada al sistema es esta:
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ k+2 & k & -1 & | & 0 \\ -1 & 1 & -2 & | & -1 \end{pmatrix}$
Escalonamos la matriz, atenti a esta operación!
$F_2 - (k+2)F_1 \Rightarrow F_2$
Reportar problema
$F_3 + F_1 \Rightarrow F_3$
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & -2 & -k-3 & | & -k-2 \\ 0 & 2 & -1 & | & 0 \end{pmatrix}$
$F_3 + F_2 \Rightarrow F_3$
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & -2 & -k-3 & | & -k-2 \\ 0 & 0 & -k-4 & | & -k-2 \end{pmatrix}$
Genial, ahora sí ya está escalonada 👉 Miramos la diagonal. Si todos los elementos de la diagonal son distintos de cero, entonces nuestro sistema es un SCD. Pidamos eso:
-> $-k-4 \neq 0 \Rightarrow k \neq -4$
Por lo tanto, nuestro sistema es un SCD si $k \neq -4$.
Ahora analizamos el caso $k = -4$ para clasificar el sistema en este caso.
Caso k = -4
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & -2 & 1 & | & 2 \\ 0 & 0 & 0 & | & 2 \end{pmatrix}$
Viendo esto nos damos cuenta que se trata de un sistema incompatible, porque la última ecuación nos queda un absurdo.
Por lo tanto, para $k=-4$, el sistema es un SI.
Recapitulando todo tenemos que:
-> Es un SCD si $k \neq -4$
-> Es un SI si $k = -4$
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